Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu tóm tắt các dạng toán điển hình, các ví dụ mẫu có lời giải chi tiết và phần bài tập rèn luyện chủ đề phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa tham số, do tác giả Lê Bá Bảo biên soạn. I – LÝ THUYẾT Một số dạng toán và phương pháp tương ứng: Cho hàm số f(x) liên tục trên tập D. Giả sử trên D tồn tại min f(x); max f(x), nếu không ta cần lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận. + Dạng 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ D + Dạng 2: Bất phương trình f(x) ≤ m có nghiệm x ∈ D + Dạng 3: Bất phương trình f(x) ≤ m nghiệm đúng ∀x ∈ D + Dạng 4: Bất phương trình f(x) ≥ m có nghiệm x ∈ D + Dạng 5: Bất phương trình f(x) ≥ m nghiệm đúng ∀x ∈ D + Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v [ads] THUẬT TOÁN : Để giải các bài toán tìm giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương trình (BPT) có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau: Thuật toán 1: Đối với bài toán không cần đặt ẩn phụ + Bước 1: Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x) = g(m) (hoặc f(x) ≥ g(m); hoặc f(x) ≤ g(m)) + Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) có tập xác đinh D, suy ra min f(x), max f(x) nếu có + Bước 3: Sử dụng các nhận xét và phương pháp giải phương trình, bất phương trình, đưa ra kết luận Thuật toán 2: Đối với bài toán đặt ẩn phụ + Bước 1: Đặt ẩn phụ t = φ(x). Từ điều kiện ràng buộc của x suy ra miền giá trị t = φ(x). Giả sử: ∀x ∈ D ⇒ t ∈ X + Bước 2: Lúc này, biến đổi đưa phương trình về dạng f(t) = h(m) (hoặc f(t) ≥ h(m) hoặc f(t) ≤ h(m)). Lúc này biện luận điều kiện có nghiệm của phương trình f(t) = h(m) với t ∈ X. Các bước còn lại tương tự thuật toán 1 Với hệ phương trình có chứa tham số, tư duy, hoặc là dựa vào điều kiện có nghiệm của các dạng hệ đặc thù, hoặc đưa về phương trình chứa 1 ẩn (có thể là ẩn phụ) vầ xét điều kiện có nghiệm trên miền giá trị của ẩn (hoặc ẩn phụ) đó. II – CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ III – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tài liệu giới thiệu các kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình do thầy Đặng Thành Nam biên soạn, tài liệu trình bày chi tiết và đầy đủ các dạng toán hệ phương trình đại số và vô tỷ. Các nội dung có trong tài liệu : Chương 1. Kiến thức bổ sung khi giải hệ phương trình + Chủ đề 1. Phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai + Chủ đề 2. Phương trình bậc ba + Chủ đề 3. Phương trình bậc bốn + Chủ đề 4. Phương trình phân thức hữu tỉ + Chủ đề 5. Hệ phương trình hai ẩn có chứa phương trình bậc nhất + Chủ đề 6. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát Chương 2. Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình + Chủ đề 1. Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn + Chủ đề 2. Hệ phương trình đối xứng loại I + Chủ đề 3. Hệ phương trình đối xứng loại II + Chủ đề 4. Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp + Chủ đề 5. Kỹ thuật sử dụng phép thế + Chủ đề 6. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử + Chủ đề 7. Kỹ thuật cộng, trừ và nhân theo vế hai phương trình của hệ + Chủ đề 8. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số + Chủ đề 9. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu + Chủ đề 10. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số [ads] + Chủ đề 11. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình + Chủ đề 12. Kỹ thuật đánh giá + Chủ đề 13. Hệ phương trình có chứa căn thức + Chủ đề 14. Kỹ thuật lượng giác hóa + Chủ đề 15. Kỹ thuật hệ số bất định + Chủ đề 16. Kỹ thuật phức hóa + Chủ đề 17. Kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải tích + Chủ đề 18. Kỹ thuật nhân liên hợp đối với hệ phương trình có chứa căn thức + Chủ đề 19. Một số bài toán hệ phương trình chọn lọc và rèn luyện nâng cao Chương 3. Bài toán hệ phương trình có chứa tham số + Chủ đề 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1 + Chủ đề 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2 + Chủ đề 3. Hệ đẳng cấp + Chủ đề 4. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số – Xử lý bài toán hệ phương trình có chứa tham số

Tài liệu gồm 26 trang giới thiệu kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn do thầy Nguyễn Tiến Chinh biên soạn. Tài liệu trình bày chi tiết phương pháp tư duy tìm lượng liên hợp và kỹ thuật xử lí liên hợp cũng như sau khi liên hợp. + Dự đoán nghiệm x = x0 bằng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC). + Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung (x – x0) hoặc bội của (x – x0) trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số: (x – x0).g(x) = 0. + Sử dụng các công thức thường dùng trong nhân liên hợp. Chú ý : + Khi dùng nhân liên hợp các em chú ý về bậc của x trong biểu thức cần liên hợp, bậc cao – bậc thấp hơn nhé. + Điểm nhấn của phương pháp liên hợp đó là biểu thức còn lại trong móc vuông luôn dương – hoặc luôn âm khi đó ta làm thế nào để chứng minh điều đó hoặc viết như thế nào để thể hiện được điều này (có thể dùng đạo hàm – đánh giá). Kỹ thuật 1 : Bài toán chứa hai căn: √A và √B, lấy A – B xem có xuất hiện nhân tử chung hay không. Kỹ thuật 2 : Thay trực tiếp nghiệm vào trong căn để tìm lượng liên hợp: Nếu phương trình có 1 nghiệm mà đó là nghiệm nguyên – thay nghiệm đó vào trong căn ta được số a nào đó vậy ghép √M – a làm một cặp liên hợp. [ads] Kỹ thuật 3 : Hệ số bất định Kỹ thuật 4 : Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (Dành cho phương trình có nghiệm vô tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm nhưng đều lẻ ta tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm xem có đẹp không, nếu đẹp thì phương trình có nhân tử chung sẽ là x^2 – Sx + P, vấn đề làm thế nào tìm ra được biểu thức liên hợp? Giả sử 2 nghiệm là x1, x2 biểu thức liên hợp cần tìm là ax + b: + Thay x1 vào căn được kết quả là C, thay x2 vào căn ta được kết quả là D. +Giải hệ phương trình ax1 + b = C và ax2 + b = D, vậy là xong các em đã có biểu thức liên hợp. Kỹ thuật 5 : Nếu phương trình có hai nghiệm và đều nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm như sau: Giả sử lượng liên hợp là ax + b muốn tìm a, b ta thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình: ax + b = √M, giải tìm a, b. Kỹ thuật 6 : Truy ngược dấu tìm biểu thức liên hợp: Khi gặp một phương trình vô tỷ,ta biết rằng phương trình này có thể giải được bằng phương pháp liên hợp,dùng MODE 7 ta cũng biết rằng phương trình này chỉ có đúng một nghiệm – Nhưng sau khi liên hợp xong biểu thức còn lại rất cồng kềnh phức tạp và khó chứng minh phương trình này vô nghiệm lúc đó ta sẽ làm gì.Tất cả sẽ có trong bài viết này với những phân tích bình luận đơn giản thông qua 20 ví dụ.Hi vọng rằng đó sẽ là sức mạnh giúp các em giải quyết triệt để lớp bài toán này. Kết luận: Với các kỹ thuật đã được nêu ra và các ví dụ được phân tích và nhận xét một cách khá tỷ mỉ,lối trình bày định hướng tuy duy cho mỗi lời giải cũng khá rõ ràng hy vọng rằng bài viết sẽ là một hành trang bổ trợ cho các em một công cụ mạnh mẽ trong việc chinh phục những bài toán về phương trình chứa căn.

Tài liệu gồm 19 trang giới thiệu phương pháp phân tích nhân tử để giải phương trình vô tỷ dạng một căn và nhiều căn thức nhờ sự trợ giúp của máy tính Casio. Lời giới thiệu của tác giả : Bạn đọc đã bao giờ thắc mắc làm thế nào mà có thể phân tích được nhân tử thành như sau: a. x^3 + 3x + 2 − x^2.√(2x^2 − x − 1) = (x + 1 − √(2x^2 − x − 1))(√(2x^2 − x − 1) + x^2 + x + 1) b. 6x − 1 − (4x − 1)√(1 − x) − 2 (x + 1)√(x + 1) = (√(1 − x) − 2√(x + 1) − 1).(√(1 − x) + √(x + 1) − 1)^2 Đối với một số người tư duy tốt, họ sẽ hỳ hục ngồi nháp, tách đủ kiểu để sao có nhân tử chung rồi đi nhóm nhân liên hợp. Tuy nhiên, với những người lười tư duy như tôi hoặc như một phần không nhỏ các bạn khác, chúng ta cần một công cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử như trên. Đó là chiếc máy tính CASIO hoặc VINACAL mà chắc hẳn bạn đọc nào cũng có. [ads] Để làm được điều như trên, tôi chia bài toán thành 3 giai đoạn: + Bước 1: Tìm nhân tử + Bước 2: Chia biểu thức + Bước 3: Tiếp tục tìm nhân tử (nếu còn) hoặc đánh giá vô nghiệm. Tuy nhiên U, V, T, W mà là gì? U, V, T, W không hẳn là một phương pháp, mà đây là một công thức để thực hiện bước 2 – chia biểu thức. Đây cũng chính là mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử bằng CASIO.