Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Cuốn sách hình học không gian được biên soạn nhằm mục đích: “Hình học không gian không còn là mối lo lắng cho các bạn học sinh phổ thông”. Cuốn sách hệ thống hóa toàn bộ kiến thức từ cơ bản đến nâng cao hình học không gian lớp 11, lớp 12 và luyện thi THPT Quốc gia. Nội dung cuốn sách gồm: + Chương 1. Đại cương hình học không gian + Chương 2. Quan hệ song song trong không gian + Chương 3. Quan hệ vuông góc trong không gian + Chương 4. Thể tích khối trụ, thể tích khối chóp + Chương 5. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón + Chương 6. Bài tập tổng hợp lớp 12 học kỳ I + Chương 7. Bài tập tổng hợp ôn thi THPT Quốc gia [ads] Cuốn sách được trình bày ngắn gọn, rõ ràng, với một lượng bài tập rất lớn và rất đầy đủ, các bài tập được giải chi tiết, chặt chẽ, dễ hiểu nhằm giúp các em có một định hướng để giải quyết bài tập đó. Cuốn sách được phân bố 6 chương, mỗi chương được tóm tắt lý thuyết đầy đủ, bài tập trong mỗi chương được phân dạng rõ ràng, mỗi dạng có tóm tắt phương pháp giải bài tập, bài tập phân bố trong mỗi chương hay trong mỗi phần là từ dễ đến khó, mỗi phần đều lồng ghép, đan xen các bài tập nhằm ôn luyện kỳ thi THPT Quốc gia. Những bài tập dễ nhằm mục đích giúp các bạn nắm rõ lý thuyết và phương pháp để chứng minh hoặc giải quyết một vấn đề cụ thể, từ đó các bạn có kỹ năng để giải quyết những bài tập khó hơn. Hy vọng cuốn sách là người bạn đồng hành tốt cho các em trong quá trình học và trong những kỳ thi.

Tài liệu gồm 64 trang tóm tắt lý thuyết cơ bản và tuyển chọn các bài toán chuyên đề mặt tròn xoay, mặt nón – trụ – cầu có lời giải chi tiết. I. HÌNH NÓN – KHỐI NÓN 1. Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90 độ. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón tròn xoay + Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). + Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình tròn): Str=π.r^2 + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq + Thể tích khối nón: Vnón = 1/3.Str.h = 1/3π.r^2.h 4. Tính chất: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh → Thiết diện là tam giác cân + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón → giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón → giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón → giao tuyến là 1 đường parabol. [ads] II. HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ 1. Mặt trụ tròn xoay + Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. + Đường thẳng Δ được gọi là trục. + Đường thẳng l được gọi là đường sinh. + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2. Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. + Đường thẳng AB được gọi là trục. + Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. + Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ. + Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ. + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3. Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó: + Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh + Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp=Sxq+Sđ=2πrh+2πr2 + Thể tích khối trụ: V = Bh = πr^2h 4. Tính chất + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinα trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 < φ < 90 độ. Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k. + Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật. + Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. + Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ. III. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 1. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). + Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính. + Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) được gọi là tiếp diện của (S)). + Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn. 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng Δ. Gọi d = d(O; Δ). + Nếu d < R thì Δ cắt (S) tại hai điểm phân biệt. + Nếu d = R thì Δ tiếp xúc với (S). (được gọi là tiếp tuyến của (S)). + Nếu d > R thì Δ và (S) không có điểm chung. 3. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. + Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục Δ của đáy (Δ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và Δ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng – Xác định trục Δ của hai đáy (Δ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tài liệu gồm 22 trang trình bày phương pháp giải toán và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết chủ đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN I – PHƯƠNG PHÁP 1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau: + Điểm M thuộc S(O;R) ⇔ OM = R. + Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông. 2. Điều kiện cần và đủ + Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp. + Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp. 3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp (α) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Lưu ý : (α) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách đều A, B. [ads] Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU 1. Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp SA1A2 … An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: + Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. + Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên. Lúc đó: + Tâm O của mặt cầu: Δ ∩ mp(α) = O. + Bán kính: R = OA (= OS). Tuỳ vào từng trường hợp. 2. Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp SA1A2 … An (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: + Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. + Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó: + Tâm I của mặt cầu: Δ ∩ d = I. + Bán kính: R = IA (= IS). Tuỳ vào từng trường hợp. II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA III -BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Tài liệu gồm 8 trang với phần giới thiệu công thức tính, ví dụ mẫu có lời giải và các bài tập trắc nghiệm tính bán kính mặt cầu. Trích dẫn tài liệu : + Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a√3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. + Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi một vuông góc và 2OA+OB +OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC là? + Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1; các điểm AB, thay đổi trên OxOy, sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. [ads] + Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a/√3. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. + Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với (SAC) một góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.