Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình gồm 1 trang với 4 bài toán tự luận, thí sinh làm bài trong 180 phút, không kể thời gian giao đề, kỳ thi được tổ chức ngày 11/09/2018 nhằm tuyển chọn các em HSG Toán tham dự kỳ thi HSG Toán cấp Quốc gia năm 2019, đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm. Trích dẫn đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình : + Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3, …, 2019. Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và b bất kỳ trên bảng và viết thêm số ab/(a + b + 1). Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số 1/2019. + Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)). Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn.

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh gồm 2 bài thi diễn ra trong hai ngày 20 và 21 tháng 9 năm 2018, đề thứ nhất gồm 4 bài toán tự luận, đề thứ hai gồm 4 bài toán tự luận, mỗi bài thi diễn ra trong thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang tính điểm. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh : + Cho một khung sắt có hình dạng là một tứ diện đều mỗi cạnh có độ dài 1 mét. Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại đỉnh đó và di chuyển theo cạnh đó đến đỉnh tiếp theo. Với mỗi số nguyên dương n, tìm số cách đi của con bọ để nó trở lại đúng đỉnh ban đầu sau khi đã đi được đúng n mét. [ads] + Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít nhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M. Xác định giá trị nhỏ nhất của M. Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khác nhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này. + Cho k là số tự nhiên lớn hơn 1. Xét dãy số (an) xác định bởi: a0 = 0, a1 = 1 và an+1 = kan + an-1 với mọi n ∈ N*. Xác định tất cả các giá trị của k sao cho tồn tại các số tự nhiên m, n (với m ≠ n) và các số nguyên dương p, q thỏa mãn điều kiện: am + kap = an + kaq.

Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ gồm 2 đề thi dành cho 2 ngày thi: ngày 14/09/2018 và ngày 15/09/2018, ngày thi thứ nhất gồm 4 bài toán, ngày thi thứ 2 gồm 3 bài toán, mỗi đề học sinh giải trong thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang chấm điểm. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ : + Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF, hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy. [ads] + Chứng minh rằng: Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố. + Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm 2018^2 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1, a2, …, a2018 ở hàng thứ nhất, b1, b2, …, b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1b1 + a2b2 + … + a2018b2018 là một số chẵn.

Nhằm tuyển chọn các em học sinh lớp 12 giỏi môn Toán để bồi dưỡng tham dự kỳ thi HSG Quốc gia năm học 2018 – 2019, sở Giáo dục và Đào tạo Bến Tre tiến hành tổ chức kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề được soạn theo hình thức tự luận với 4 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang chấm điểm. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre : + Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày. Khi n= 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Chứng minh rằng n là số lẻ. + Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 độ, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của (MH + NH)/OH.