Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thi thành phố môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, thành phố Hà Nội; kỳ thi được diễn ra vào ngày 21 tháng 12 năm 2023. Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 năm 2023 – 2024 trường chuyên Hà Nội – Amsterdam : + Cho các số nguyên m, n thỏa mãn mỗi số 2m + 5n và 2n + 5m là lập phương của một số nguyên. Chứng minh số K = m3 − n2 chia hết cho 9. + Cho đường tròn (O) có đường kính BC. Lấy A là một điểm bất kì thuộc đường tròn (A khác B, A khác C). Từ điểm M bất kì thuộc tia đối của tia CA (M khác C), vẽ tiếp tuyến ME, MF của đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng qua M vuông góc với BC tại I cắt BE, BF lần lượt tại T, Q. 1) Chứng minh rằng M là trung điểm QT. 2) Đường tròn ngoại tiếp BQT cắt đường tròn đường kính AC tại Z (Z khác A). Đường thẳng qua C, vuông góc với CM, cắt QT tại K. Dựng hình bình hành OCMW. Chứng minh KC = KZ. 3) Gọi U là trung điểm AB. Chứng minh rằng WMU = CZI. + Cho bảng ô vuông kích thước 2023 × 2024 gồm 2023 hàng và 2024 cột. Điền các số nguyên vào bảng sao cho ô nào cũng được điền và các số không nhất thiết phân biệt. Ta gọi một ô vuông 1 x 1 là tốt nếu số của nó nhỏ hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng hàng với nó, đồng thời lớn hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng cột với nó. a) Chỉ ra một cách điền số để trên bảng có đúng 2023 ô vuông tốt. b) Tìm số lượng ô vuông tốt nhiều nhất có thể đạt được.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THCS năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa; kỳ thi được diễn ra vào ngày 21 tháng 12 năm 2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Thanh Hóa : + Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3^n – 1 chia hết cho 2^2024. Chứng minh rằng n ≥ 2^2022. + Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 23 và đường cao AH. Trên đoạn BH lấy điểm M tùy ý (M không trùng B và H). Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. 1. Chứng minh giá trị của biểu thức MP + MQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 2. Gọi K là trung điểm của AM. a. Chứng minh rằng tứ giác PKQH là hình thoi. b. Gọi S là diện tích của hình thoi PKQH. Biết khi điểm M thay đổi thì S nhận đúng một giá trị nguyên dương. Tìm giá trị nguyên dương đó. 3. Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM. Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với các cạnh BM, AB, AM. Vẽ DN vuông góc với EF tại N. Chứng minh BNE = MNF.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 vòng 2 năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Mê Linh, thành phố Hà Nội. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Mê Linh – Hà Nội : + Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021).P(2022) = 2023. Chứng minh rằng đa thức P(x) – 2024 không có nghiệm nguyên. + Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB; S, R, Q lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q cùng nằm trên một đường tròn. + Cho đa giác đều có 2023 đỉnh sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nam Trực, tỉnh Nam Định; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Trích dẫn Đề HSG cấp huyện Toán 9 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Nam Trực – Nam Định : + Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC (AB AC). Gọi E là trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F. Đoạn thẳng BF cắt đường tròn (O) tại H. 1) Chứng minh: FH FB FE FO. 2) Chứng minh: FEH OHB. 3) Chứng minh: AH vuông góc với HE. + Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 3 2 x y x y 3 2 5 0. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: 2 p 1 chia hết cho 24. + Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có tất cả 1013 số 1 và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên.