Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu gồm 56 trang, hệ thống các khái niệm cơ bản và định lý hình học THCS (hình học phẳng). ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC: Kiến thức về bộ môn toán nói chung, bộ môn hình học nói riêng được xây dựng theo một hệ thống chặt chẽ: Từ Tiên đề đến Định nghĩa các Khái niệm – Định lý – và Hệ quả. Đối với những bài toán thông thường, học sinh chỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả để giải. Đối với những bài toán khó, để xác định hướng giải (cũng như để giải được) học sinh cần nắm được không những hệ thống kiến thức (lý thuyết) mà còn cần nắm chắc cả hệ thống bài tập, để vận dụng chúng vào giải bài tập mới. Do đó để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần: a/ Nắm chắc hệ thống kiến thức về lý thuyết. b/ Nắm chắc hệ thống bài tập. c/ Biết cách khai thác giả thiết nhằm đọc hết những thông tin tiềm ẩn trong giả thiết, nắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, suy ra cái ta sẽ có (càng nhiều càng tốt). Từ đó giúp ta xây dựng hướng giải, vẽ được đường phụ cũng như giúp ta có thể giải được bài toán bằng nhiều cách. Nội dung ở cột Hình vẽ, khai thác ở bảng tổng hợp dưới đây nhằm giúp học sinh tập dượt suy ra cái ta sẽ có ở nội dung Nếu có ….. Ta có ….. d/ Biết cách tìm hiểu câu hỏi (kết luận): + Nắm chắc các phương pháp chứng minh từng dạng toán (trong đó cần hết sức lưu ý định nghĩa các khái niệm). + Biết đưa bài toán về trường hợp tương tự. + Nắm được ý nghĩa của câu hỏi để có thể chuyển sang dạng tương đương. Ví dụ để chứng minh biểu thức M không phụ thuộc vị trí của cát tuyến d khi d quay quanh điểm O ta cần chứng minh M = hằng số. Tài liệu này tổng hợp, hệ thống các khái niệm và định lý (trong phần hình học phẳng) trong chương trình hình học trung học cơ sở bằng cách tổng hợp tất cả các khái niệm, định lý (liên quan đến từng khái niệm) về một mối. Trên cơ sở đó giúp học sinh ôn tập một cách tổng hợp các khái niệm, định lý để vận dụng vào giải toán. Đề nghị các trường triển khai đến học sinh, giáo viên để nghiên cứu vận dụng. Các khái niệm, định lý trong tài liệu này được chia ra các phần chính như sau: 1/ ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TIA – GÓC – QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU. 2/ TAM GIÁC – TAM GIÁC CÂN – TAM GIÁC VUÔNG – TAM GIÁC VUÔNG CÂN – TAM GIÁC ĐỀU. 3/ TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT – HÌNH THOI – HÌNH VUÔNG – ĐA GIÁC. 4/ ĐƯỜNG TRÒN. Nội dung tài liệu được thiết kế theo dạng bảng gồm 4 cột: + Khái niệm: Nêu tên khái niệm. Trong từng khái niệm có ghi chú khái niệm đó được học ở khối lớp nào trong chương trình hình học THCS để học sinh vận dụng phù hợp với khối lớp đang học. + Nội dung: Nêu định nghĩa khái niệm, các định lý, nhận xét liên quan đến khái niệm đó. + Hình vẽ – Khai thác: – Hình vẽ minh họa. – Giúp học sinh tìm tòi, khai thác dưới dạng Nếu có ….. thì ta có 1) – 2) – 3) … để tăng thêm dữ liệu phục vụ cho giải bài toán liên quan đến khái niệm đó. + Cách chứng minh: Nếu các cách chứng minh hình học. VD chứng minh hai đường thẳng song song. Đây chỉ là tài liệu tham khảo, rất mong sự đóng góp ý kiến của đội ngũ giáo viên để Phòng Giáo dục có thể điều chỉnh, hoàn thiện tài liệu này.

Tài liệu gồm 184 trang, được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Hữu Điển, hướng dẫn ứng dụng phương pháp Đirichlê trong giải toán. Nguyên lý những cái lồng và các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu. Ngay trong chương trình phổ thông cơ sở chúng ta cũng đã làm quen với phương pháp giải toán này. Thực ra nguyên lý này mang tên nhà bác học người Đức Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805 – 1859). Nguyên lý phát biểu rất đơn giản: Nếu chúng ta nhốt thỏ vào các lồng mà số lồng ít hơn số thỏ, thì thể nào cũng có một lồng nhốt ít nhất hai con thỏ. Chỉ bằng nguyên lý đơn giản như vậy hàng loạt các bài toán đã được giải. Cuốn sách được biên soạn lại theo từng chủ đề có liên quan đến nguyên lý, mỗi cách giải trong ví dụ của từng chương là áp dụng điển hình nguyên lý Đirichlê. Bài tập giải trước có liên quan đến bài giải sau nên cần lưu ý khi đọc sách. Với mong muốn cùng bạn đọc thảo luận một phương pháp chứng minh toán học và hy vọng cung cấp một tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo và các em học sinh ham mê tìm tòi trong toán học, tác giả mạnh dạn biên soạn cuốn sách này. MỤC LỤC : Chương 1. Nguyên lý Đirichlê và ví dụ. 1.1. Nguyên lý Đirichlê. 1.2. Ví dụ. 1.3. Bài tập. Chương 2. Số học. 2.1. Phép chia số tự nhiên. 2.2. Ví dụ. 2.3. Bài tập. Chương 3. Dãy số. 3.1. Nguyên lý Đirichlê cho dãy số vô hạn. 3.2. Ví dụ. 3.3. Bài tập. Chương 4. Hình học. 4.1. Ví dụ. 4.2. Bài tập. Chương 5. Mở rộng nguyên lý Đirichlê. 5.1. Nguyên lý Đirichlê mở rộng. 5.2. Ví dụ. 5.3. Bài tập. Chương 6. Bài tập số học nâng cao. 6.1. Định lý cơ bản của số học. 6.2. Ví dụ. 6.3. Bài tập. Chương 7. Bài tập dãy số nâng cao. 7.1. Ví dụ. 7.2. Bài tập. Chương 8. Số thực với tập trù mật. 8.1. Tập trù mật. 8.2. Ví dụ. 8.3. Bài tập. Chương 9. Những ứng dụng khác của nguyên lý Đirichlê. 9.1. Xấp xỉ một số thực. 9.2. Bài tập. Chương 10. Nguyên lý Đirichlê cho diện tích. 10.1. Phát biểu nguyên lý Đirichlê cho diện tích. 10.2. Ví dụ. 10.3. Bài tập. Chương 11. Toán học tổ hợp. 11.1. Ví dụ. 11.2. Bài tập. Chương 12. Một số bài tập hình học khác. 12.1. Ví dụ. 12.2. Bài tập. Chương 13. Một số đề thi vô địch. Chương 14. Bài tập tự giải. Chương 15. Lời giải và gợi ý.

Tài liệu gồm 67 trang, hướng dẫn một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên, kèm các ví dụ minh họa có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết. I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp 1 . Sử dụng các tính chất về quan hệ chia hết. Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. + Xét số dư hai vế của phương trình để chỉ ra phương trình không có nghiệm, tính chẵn lẻ của các vế. + Đưa phương trình về dạng phương trình ước số. + Phát hiện tính chia hết của các ẩn. + Sử dụng tính đồng dư của các đại lượng nguyên. Phương pháp 2 . Đưa hai vế về tổng các bình phương. Ý tưởng của phương pháp là biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương. Phương pháp 3 . Sử dụng các tính chất của số chính phương. Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên. + Một số tính chất về chia hết của số chính phương. + Nếu 2 2 a n a1 với a là số nguyên thì n không thể là số chính phương. + Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương. + Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0. Phương pháp 4 . Phương pháp đánh giá. Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các ẩn, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức. + Phương pháp sắp thứ tự các ẩn. + Xét khoảng giá trị của các ẩn. + Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki. Phương pháp 5 . Sử dụng tính chất của phương trình bậc hai. Ý tưởng của phương pháp là quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số. Khi đó các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau: + Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 của phương trình bậc hai. + Sử dụng hệ thức Vi – et. + Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. Phương pháp 6 . Phương pháp lùi dần vô hạn. Ý tưởng của phương pháp lùi dần vô hạn có thể hiểu như sau: Giả sử (x y z 0 0 0) là nghiệm của f x y z 0. Nhờ những biến đổi và suy luận số học ta tìm được một nghiệm khác (x y z 1 1 1) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ số k nào đó, chẳng hạn 0 1 0 10 1 x kx y ky z kz. Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x y z 2 2 2) thỏa mãn 1 2 1 11 2 x kx y ky z kz. Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến 0 00 x y z cùng chia hết cho n k với n là một số tự nhiên tuỳ ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi xyz0. Để rõ ràng hơn ta xét các ví dụ sau. II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, nó có thể là phương trình một ẩn hay nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Cũng có những phương trình dạng đa thức hoặc dạng lũy thừa. Ta có thể chia phương trình nghiệm nguyên thành một số dạng như sau. 1. Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức. 2. Phương trình nghiệm nguyên dạng phân thức. 3. Phương trình nghiệm nguyên có chứa căn. 4. Phương trình nghiệm nguyên dạng lũy thừa. 5. Hệ phương trình nghiệm nguyên.

Tài liệu gồm 50 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đào Văn Nam, hướng dẫn một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Bunyakovski để giải toán. A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI. + Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn. + Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này. + Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. + Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên. + Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể. B. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM. C. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI.