Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu chuyên đề phương trình đại số gồm 56 trang được tổng hợp bởi tác giả Trịnh Bình, hướng dẫn phương pháp giải các bài toán phương trình đại số, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số lớp 9 và ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. CHỦ ĐỀ 1 . PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO. Để giải phương trình đa thức bậc cao chúng ta thường chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích. Phương trình bậc 3: Thông thường để giải được phương trình bậc 3 chúng ta phải tìm được một nghiệm của phương trình, sau đó phân tích thành nhân tử và chuyển về giải phương trình bậc 2. Phương trình bậc 4: Để giải phương trình bậc 4 chúng ta thường nhẩm một nghiệm và phân tích phương trình bậc 4 thành tích của một đa thức bậc 3 và đa thức bậc nhất sau đó dùng các phương pháp để giải phương trình bậc 3 hoặc phân tích thành tích hai tam thức bậc 2, hoặc đặt ẩn phụ chuyển về giải phương trình bậc 2. + Dạng 1. Phương trình trùng phương: $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ $(a \ne 0).$ + Dạng 2. Phương trình có dạng: ${(x + m)^4} + {(x + n)^4} = p$ $(p > 0).$ + Dạng 3. Phương trình có dạng: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ trong đó $a + b = c + d.$ + Dạng 4. Phương trình có dạng: $\left( {a{x^2} + {b_1}x + c} \right)\left( {a{x^2} + {b_2}x + c} \right) = m{x^2}.$ + Dạng 5. Phương trình có dạng: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ trong đó $ab = cd.$ + Dạng 6. Phương trình có dạng: ${a_1}{\left( {b{x^2} + {c_1}x + d} \right)^2}$ $ + {a_2}\left( {b{x^2} + {c_2}x + d} \right)$ $ = A{x^2}.$ + Dạng 7. Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} \pm bx + a = 0.$ + Dạng 8. Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0$ $(k > 0).$ Phương trình cao hơn bậc 4: Đối với các phương trình bậc cao hơn 4 phương pháp chung là dùng cách đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về giải các phương trình bậc thấp hoặc với nhiều bài toán chúng ta nên lưu tâm tới việc có thể sử dụng phương pháp đánh giá để giải toán. [ads] CHỦ ĐỀ 2 . PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC. Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Một số dạng phương trình phân thức thường gặp: + Dạng 1. Phương trình có dạng: $\frac{{{a_1}}}{{x + {b_1}}} + \frac{{{a_2}}}{{x + {b_2}}} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{x + {b_n}}} = A.$ + Dạng 2. Phương trình có dạng: $\frac{{{a_1}x + {b_1}}}{{x + {c_1}}} + \frac{{{a_2}x + {b_2}}}{{x + {c_2}}} + \ldots + \frac{{{a_n}x + {b_n}}}{{x + {c_n}}} = A.$ + Dạng 3. Phương trình có dạng: $\frac{{mx}}{{a{x^2} + {b_1}x + c}} + \frac{{nx}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} = p$, $\frac{{a{x^2} + {b_1}x + c}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} + \frac{{a{x^2} + {d_1}x + c}}{{a{x^2} + {d_2}x + c}} = 0$, $\frac{{a{x^2} + {b_1}x + c}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} + \frac{{px}}{{a{x^2} + dx + c}} = 0.$ Dạng 4. Phương trình có dạng: ${x^2} + {\left( {\frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} = b$ với $a \ne 0$, $x \ne – a.$ Dạng 5. Sử dụng phương ph{p đ{nh gi{ để giải phương trình chứa phân thức CHỦ ĐỀ 3 . PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. Để giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối cần khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta cần nhớ giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu nó có giá trị không âm, bằng số đối của nó nếu nó có giá trị âm. Do đó để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét các giá trị làm biểu thức âm hoặc không âm.

Trong chương trình môn Toán cấp Trung học Cơ sở, bài toán phương trình nghiệm nguyên là một chủ đề hay nhưng khó đối với học sinh, dạng toán này được bắt gặp khá thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 – lớp 9. Để phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 và Toán lớp 9, thầy Tạ Văn Đức biên soạn tài liệu giới thiệu một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Khái quát nội dung tài liệu một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Tạ Văn Đức: Phương pháp 1 . Áp dụng tính chia hết. 1. Phương trình dạng ax + by = c. 2. Đưa về phương trình ước số. Phương pháp 2 . Phương pháp lựa chọn Modulo (hay còn gọi là xét số dư từng vế). 1. Xét số dư hai vế. 2. Sử dụng số dư để chỉ ra phương trình vô nghiệm. Phương pháp 3 . Sử dụng bất đẳng thức. 1. Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp thứ tự các biến. 2. Áp dụng bất đẳng thức cổ điển. 3. Áp dụng tính đơn điệu của từng vế. 4. Dùng điều kiện delta ≥ 0 (hoặc delta’ ≥ 0) để phương trình bậc hai có nghiệm. [ads] Phương pháp 4 . Phương pháp chặn hay còn gọi là phương pháp đánh giá. Chủ yếu dựa vào hai nhận xét sau: + Không tồn tại n thuộc Z thỏa mãn a^2 < n^2 < (a + 1)^2 với a là một số nguyên. + Nếu a^2 < n^2 < (a + 2)^2 (với a và n thuộc Z) thì n = a + 1. Phương pháp 5 . Sử dụng tính chất của số chính phương. Một số tính chất thường được sử dụng: + Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. + Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p^2. + Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. + Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1 hoặc 4. + Số chính phương lẻ chia cho 4, 8 thì số dư đều là 1. + Lập phương của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dự 0, 1 hoặc 8. Phương pháp 6 . Phương pháp lùi vô hạn (hay còn gọi là phương pháp xuống thang). Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình nào đó ngoài nghiệm tầm thường x = y = z = 0 thì không còn nghiệm nào khác. Phương pháp 7 . Nguyên tắc cực hạn (hay còn gọi là nguyên lí khởi đầu cực trị). Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau, đều chứng minh phương trình ngoài nghiệm tầm thường không có nghiệm nào khác. Phương pháp 8 . Sử dụng mệnh đề cơ bản của số học.

Nhằm đáp ứng nhu cầu của giáo viên Toán THCS và học sinh về các chuyên đề môn Toán lớp 7, THCS. giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề các bài toán về biểu thức đại số. Chuyên đề gồm 116 trang được biên soạn bởi tác giả Trịnh Bình, được tham khảo qua nhiều tài liệu tương tự, nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về biểu thức đại số thường được ra trong các kì thi gần đây. Khái quát nội dung tài liệu các dạng toán về biểu thức đại số: Chủ đề 1 . Rút gọn phân thức hữu tỉ. + Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ. + Dạng toán 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ và bài toán liên quan. + Dạng toán 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật. Bài tập vận dụng. Hướng dẫn giải. Chủ đề 2 . Tính giá trị biểu thức một biến. + Dạng toán 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức. + Dạng toán 2: Tính giá trị biểu thức chứa căn thức. + Dạng toán 3: Tính giá trị biểu thức có biến là nghiệm của phương trình. Bài tập vận dụng. Hướng dẫn giải. [ads] Chủ đề 3 . Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện. + Dạng toán 1: Sử dụng phương pháp phân tích. + Dạng toán 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. + Dạng toán 3: Sử dụng phương pháp hình học. + Dạng toán 4: Sử dụng & vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Bài tập vận dụng. Hướng dẫn giải. Chủ đề 4 . Một số phương pháp chứng minh đẳng thức. + Dạng toán 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương. + Dạng toán 2: Sử dụng hằng đẳng thức quen biết. + Dạng toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến. + Dạng toán 4: Sử dụng bất đẳng thức. + Dạng toán 5: Sử dụng lượng liên hợp. + Dạng toán 6: Chứng minh có một số bằng hằng số cho trước. + Dạng toán 7: Sử dụng & Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Bài tập vận dụng. Hướng dẫn giải. Chủ đề 5 . Rút gọn biểu thức đại số và bài toán liên quan. + Dạng toán 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp. + Dạng toán 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán. + Dạng toán 3: Các bài toán về tổng dãy có quy luật. + Dạng toán 4: Rút gọn biểu thức chứa căn có một hoặc nhiều ẩn. + Dạng toán 5: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan. Bài tập vận dụng. Hướng dẫn giải.

Tài liệu gồm 190 trang tuyển chọn các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10, trong mỗi chuyên đề, các bài toán được phân dạng, hướng dẫn cách giải cùng các ví dụ minh họa và bài tập để học sinh rèn luyện. A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC + Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. + Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức √A^2 = |A|. + Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức √A^2 = |A|. + Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử). + Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ. B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Giải hệ phương trình và một số ý phụ. + Giải hệ phương trình bậc cao. C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Dạng 1. Toán về quan hệ số. + Dạng 2: Toán chuyển động. + Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc – %. + Dạng 4: Toán có nội dung hình học. + Dạng 5. Các dạng toán khác. D. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI + Dạng 1. Toán về quan hệ số. + Dạng 2: Toán chuyển động. + Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc – %. + Dạng 4: Toán có nội dung hình học. + Dạng 5. Các dạng toán khác. E. HÀM SỐ BẬC NHẤT F. HÀM SỐ BẬC HAI + Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. [ads] G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG + Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai. 1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản. 1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai. 1.2.1. Phương trình trùng phương. 1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích. 1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai. a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai). b) Phương trình vô tỉ. 1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ. + Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng. + Dạng 3: Phương trình chứa tham số. H. BẤT ĐẲNG THỨC + Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. + Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm.