Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Phương trình hàm trên tập các số thực dương luôn là các bài toán hay và khó. Để giải quyết các bài toán này chúng ta cần vận dụng nhiều kỹ thuật kinh điển trong giải toán phương trình hàm kết hợp nhuần nhuyễn với các kiến thức Đại số và Giải tích. Trong bài viết này, các tác giả Đoàn Quang Đăng (THPT Chuyên Bến Tre) và Võ Trần Hiền (THPT Chuyên Tiền Giang) sẽ giới thiệu hai bổ đề khá thú vị dùng để giải quyết các lớp bài toán có thể đưa về dạng f(x + A) = f(x) + B và f(x + A) + B = f(x + C) + D. Mục lục : 1 Bổ đề 1 – f(x + A) = f(x) + B 2. 2 Bổ đề 2 – f(x + A) + B = f(x + C) + D 10. 3 Bài tập rèn luyện 17. 4 Tài liệu tham khảo 18. + Diễn đàn Art of Problem Solving. + Nhóm Hướng tới Olympic VN. + Một góc nhìn tổng quát cho bài phương trình hàm thi HSG QG 2022 – Nguyễn Huy Trung. + Hai bổ đề trong bài toán phương trình hàm trên tập số thực dương – Đoàn Quang Đăng. + Vietnamese Mathematical Competitions 2022 Booklet.

Tài liệu gồm 59 trang, hướng dẫn áp dụng phương pháp thế và phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ trong việc giải bài toán phương trình hàm trên R. Trong chương trình chuyên Toán ở các trường THPT chuyên, phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng. Hiện nay tài liệu về phương trình khá phong phú. Tuy vậy, việc giải được phương trình hàm vẫn là vấn đề khó đối với nhiều học sinh. Trong chuyên đề nhỏ này, chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp thông dụng và quan trọng để giải phương trình hàm trên tập R. Đó là phương pháp thế và phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ. I. Phương pháp thế trong giải phương trình hàm. 1. Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp thế. 2. Các ví dụ. 3. Bài tập vận dụng. 4. Bài tập củng cố. II. Sử dụng tính chất ánh xạ để giải phương trình hàm. 1. Nhắc lại một số khái niệm và tính chất của ánh xạ. 1.1. Ánh xạ. 1.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. 1.3. Ánh xạ ngược của một song ánh. 1.4. Ánh xạ hợp. 2. Các ví dụ. 2.1. Sử dụng tính đơn ánh giải phương trình hàm. 2.2. Sử dụng tính toàn ánh giải phương trình hàm. 2.3. Sử dụng tính song ánh giải phương trình hàm. 3. Bài tập vận dụng. 4. Bài tập củng cố.

Chuyên đề lí thuyết số (bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT) được biên soạn bởi tác giả Trần Quang Thọ (giáo viên Toán trường THPT chuyên Vị Thanh, tỉnh Hậu Giang. Số học hay đa thức đều là các chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia, các kì thi khu vực cũng như quốc tế với các bài toán khó tới rất khó được các nước cũng như các thầy cô phát triển rất nhiều. Đa thức là mảng mà chứa đựng trong nó các yếu tố về đại số, giải tích, hình học và cả các tính chất về số học. Chính vì thế ta có thể xem đa thức có thể xem như là các bài toán tổ hợp giữa các mảng khác của Toán học cũng như đóng vai trò liên kết các mảng đó lại với nhau thành một thể thống nhất. Điều lí thú là nhiều mệnh đề khó nhất của số học được phát biểu rất đơn giản, ai cũng hiểu được; nhiều bài toán khó nhưng có thể giải rất sáng tạo với những kiến thức số học phổ thông đơn giản. Không ở đâu như trong số học,chúng ta lại có thể lần theo được dấu vết của những bài toán cổ xưa để đến được với những vấn đề mới đang còn chờ đợi người giải – Trích từ cuốn sách Số học – Bà chúa của toán học – Hoàng Chúng. Chính vì thế sự kết hợp của 2 mảng kiến thức này sẽ mang tới cho chúng ta những bài toán đẹp nhưng vẻ đẹp thì không bao giờ là dễ để chúng ta chinh phục cả, nó luôn ẩn chứa những điều khó khăn và “nguy hiểm”. Trong chủ đề của bài viết này, chúng ta sẽ đi khám phá cũng như chinh phục phần nào vẻ đẹp của sự kết hợp đó. MỤC LỤC : I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. II. CÁC BÀI TOÁN. III. BÀI LUYỆN TẬP. TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1]. A comprehensive course in number theory – Alan Baker – Cambridge University Press (2012). [2]. Problem – Solving and Selected Topics in Number Theory_ In the Spirit of the Mathematical Olympiads – Michael Th. Rassias-Springer – Verlag New York (2011). [3]. Lí thuyết số – Tài liệu bồ dưỡng học sinh giỏi – Lê Hoành Phò (2016). [4]. Tính chất số học trong các bài toán về đa thức – Phạm Viết Huy – THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi.

Tài liệu gồm 23 trang, hướng dẫn phương pháp sử dụng phương tích – trục đẳng phương trong bài toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng; tài liệu được sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc THPT. PHẦN 1 . ĐẶT VẤN ĐỀ. Các bài toán Hình học phẳng là một phần quan trọng trong các chuyên đề toán học và đồng thời nó cũng là một mảng khó trong chương trình toán THPT chuyên. Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế và khu vực, những bài toán Hình học phẳng cũng hay được đề cập và thường được xem là bài toán khó của kì thi. Trong các dạng toán liên quan đến Hình học phẳng thì bài toán đồng quy, thẳng hàng vừa được coi là bài toán quen và lạ, vừa dễ vừa khó. Bởi bài toán đồng quy, thẳng hàng đã được làm quen từ khi các em bắt đầu học Hình học cho đến chúng ta cảm thấy rất quen thuộc với Hình hoc nó vẫn hiện hữu. Nó lại là bài toán có tần suất xuất hiện nhiều nhất trong tất cả các kì thi HSG các cấp với rất nhiều hình thái khác nhau, mức độ khác nhau thậm chí là rất khó. Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận các dạng toán liên quan đến bài toán đồng quy thẳng hàng nói riêng và bài toán Hình học phẳng nói chung bởi không biết phải bắt đầu từ đâu và khó khăn khi định hướng vẽ hình phụ. Cái khó của các em chính là không nắm được tường tận các phương pháp giải quyết từ đó dẫn đến khó khăn trong khâu định hướng. Để hiểu và vận dụng tốt một số dạng toán cơ bản và vận dụng kiến thức Hình học phẳng vào giải toán đồng quy thẳng hàng thì thông thường học sinh phải có kiến thức nền tảng Hình học tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả các lĩnh vực của nó. Đó là một khó khăn rất lớn đối với giáo viên và học sinh khi giảng dạy và học tập phần các kiến thức cần thiết trong Hình học. Trong số rất nhiều các phương pháp để giải quyết bài toán đồng quy, thẳng hàng tác giả lựa chọn công cụ “Phương tích, trục đẳng phương”. Đây là một trong những công cụ mạnh và hữu hiệu để giải quyết lớp bài toán này. PHẦN II . NỘI DUNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG. 1.1 Lý thuyết. 1.1.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn. 1.1.2. Trục đẳng phương của hai đường tròn. 1.1.3. Tâm đẳng phương. 1.2 Bài tập minh họa. 1.3 Bài tập tương tự. TÀI LIỆU THAM KHẢO