Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển của tỉnh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn. Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Lạng Sơn : + Xét các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn tính chất “Với bất kì hai số thực x,y luôn có: |y2 – P(x)| =< 2|x| khi và chỉ khi |x2 – P(y)| =< 2|y|”. Ta gọi S là tập tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện ở trên. a) Hãy chứng minh rằng họ đa thức P(x) với C > 0 và đa thức Q(x) = x2 + 1 cùng thuộc vào tập S. b) Giả sử rằng P(x) thuộc S và P(0) ≥ 0. Chứng minh rằng P(x) là hàm số chẵn. + Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Giả sử G, L, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng EF, FD, DE với BC, CA, AB tương ứng. a) Chứng minh rằng G, L, K thẳng hàng. b) Lấy các điểm P, Q lần lượt đối xứng với D qua B, C tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm J ứng với đỉnh A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại N; gọi R là điểm đối xứng với N qua J. Chứng minh (PQR) tiếp xúc với (I). + Một trường có 2007 nam và 2007 nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá 100 câu lạc bộ; biết rằng bất kì hai bạn khác giới (1 nam và 1 nữ) tham gia ít nhất cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ bao gồm ít nhất 11 nam và 11 nữ.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp tỉnh năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình; kỳ thi được diễn ra vào ngày 06/10/2023 và 07/10/2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Ninh Bình : + Cho dãy số (xn) được xác định như sau, trong đó a là một số thực dương cho trước. a) Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. b) Giả sử lim xn = c. Tìm số thực a để dãy (xn) xác định bởi yn có giới hạn hữu hạn khác 0. + Cho tam giác ABC nhọn, không cần nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi T là giao điểm thứ hai của đường thẳng CH với đường tròn (O); I là giao điểm của AT với BC; J là giao điểm của AD với EF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HC, HE. Lấy điểm P trên EF sao cho MP song song với DE, điểm Q trên BJ sao cho EQ song song với NP. a) Chứng minh rằng ba điểm I, E, Q thẳng hàng. b) Gọi X là giao điểm của BH với CO, Y là giao điểm của CH với BO, Z là trực tâm tam giác DEF. Chứng minh rằng OZ chia đôi đoạn XY. + Cho tập hợp S = {1; 2; 3; …; 2048}. a) Chứng minh khẳng định sau: “Với mọi tập con X của tập S có số phần tử bằng 15, luôn tồn tại hai tập con khác rỗng rời nhau A, B của tập X sao cho i = j”. Khẳng định này còn đúng không khi số phần tử của tập X bằng 12? b) Tập con Y khác rỗng của S thoả mãn điều kiện: với mọi y thuộc Y thì 15y không thuộc Y. Tìm số phần tử lớn nhất có thể của tập Y.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán 12 lần 1 năm học 2023 – 2024 trường THPT Lý Thái Tổ và trường THPT Gia Bình số 1, tỉnh Bắc Ninh; đề thi hình thức 100% trắc nghiệm với 50 câu hỏi và bài toán, thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề); đề thi có đáp án mã đề 101 102 103 104. Trích dẫn Đề HSG Toán 12 lần 1 năm 2023 – 2024 THPT Lý Thái Tổ & Gia Bình 1 – Bắc Ninh : + Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán gồm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang và 4 nữ trong đócó Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ ra mắt đội tuyển học sinh giỏi. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là? + Cho tam giác ABC vuông tại A AB cm 6 AC cm 3. M là một điểm di động trên cạnh BC (M khác B C); gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Cho hình chữ nhật AHMK quay xung quanh cạnh AH khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất là? + Cho tứ diện ABCD 1111 có thể tích 1 V 156. Tứ diện ABCD 2222 có các đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện ABCD 1111 (như hình vẽ). Tứ diện ABCD nnnn 1111 có các đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện ABC nnnn D (n 1 n). Gọi Vn là thể tích của tứ diện ABCD nnnn. Tính 1 2 VVV n.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT chuyên năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc : + Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n. a) Chứng minh rằng nếu n + 1 là lũy thừa của 2 và n chia hết cho 11 thì G(n) > 11. b) Hai số nguyên tố phân biệt p, q được gọi là xa lạ nếu không tồn tại số nguyên dương n lớn hơn 1 để hai tập hợp {p;q} và {G(n);G(n + 1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < q là hai số nguyên tố lẻ sao cho ordp2 = ordq2 thì 2 và p là hai số xa lạ và có vô hạn cặp số nguyên tố (p;9) sao cho p < q và hai số p và q là xa lạ. + Cho tam giác ABC nhọn và cân tại đỉnh A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của DE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt cạnh AB tại điểm N. Tiếp tuyến tại M và N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại P. a) Đường thẳng AM cắt tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Q. Chứng minh rằng P, D, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thẳng BC. + Cho số nguyên dương n > 1, số nguyên dương k được gọi là n-good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương 1; 2; …; k bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì ta luôn chọn được n số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của n số này cũng nằm trong tập hợp {1; 2; …; k} và cùng màu với n số vừa chọn. a) Tìm số 2-good nhỏ nhất. b) Tìm số 2024-good nhỏ nhất.