Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Phúc Lữ (giảng viên trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh), hướng dẫn sử dụng yếu tố Z+ trong việc giải phương trình hàm trên R+. TÓM TẮT NỘI DUNG: Trong bài viết nhỏ này, tác giả muốn nhắc lại một số tình huống có thể dùng các tính toán trên tập số nguyên dương để hỗ trợ cho việc giải phương trình hàm trên tập hợp số thực dương. Cụ thể hơn là về: việc dùng chu kỳ tuần hoàn, phương trình hàm cộng tính và các đánh giá bất đẳng thức khác. 1) Giới thiệu: Phương trình hàm trên R+ là một lớp hàm đặc thù và đòi hỏi các kỹ thuật biến đổi, đánh giá ở mức độ nhất định. Hiện tại các đề bài thi trong và ngoài nước có khai thác các dạng này khá nhiều, có các bài toán khó, thử thách. Trong bài viết này, ta sẽ xét một số cách tiếp cận có liên quan đến yếu tố số nguyên dương như sau: – Phương trình hàm cộng tính f(x) + f(y) = f(x + y) trên R+ thì có thể giải được ra nghiệm f(x) = ax vì lý do trên R+ thì hàm cộng tính cũng sẽ đồng biến. Tuy nhiên, nếu như ta không có điều kiện mạnh như cộng tính mà chỉ có điều kiện yếu hơn là f(nx) = nf(x) với x thuộc R+ và n thuộc Z+ thì sao? Câu trả lời là vẫn sẽ giải được, nhưng cần kết hợp với tính đồng biến. Điều này sẽ được mô tả rõ hơn thông qua các ví dụ bên dưới. – Các phương trình hàm có dùng đến kỹ thuật chu kỳ tuần hoàn để chứng minh hàm hằng hoặc tính đơn ánh thì việc xuất hiện của các yếu tố nguyên dương của chu kỳ là tất yếu. Đôi khi ta cần khai thác điều đó khéo léo thì mới xử lý triệt để được bài toán. – Ngoài ra, yếu tố nguyên dương cũng xuất hiện khá bất ngờ và lại có thể dùng trong các bài toán đánh giá các bất đẳng thức trung gian để giải phương trình hàm rất hiệu quả. Với tâm lý cho rằng việc chỉ chứng minh được f(n) = n với n thuộc Z+ thì khó có thể đi đến f(x) = x với x thuộc R+ có khi lại làm mất đi cơ hội giải quyết được bài toán. 2) Sử dụng tính chất tuần hoàn. 3) Khai thác tính đơn điệu. 4) Các dạng khác. 5) Bài tập tự luyện.

Tài liệu gồm 27 trang, được biên soạn bởi tác giả Phạm Tùng Quân (trường THPT chuyên Thăng Long, thành phố Đà Lạt, tỉnh Lâm Đồng), trình bày một số tính chất hình học của đồ thị hàm số hữu tỉ. Mục lục : 1 Giới thiệu 1. 2 Kiến thức chuẩn bị 3. 3 Tính lồi, lồi chặt của hàm số y = f(x) 5. 4 Hướng tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) 10. 4.1 Hướng tiệm cận của đồ thị hàm số khi x tiến ra vô cùng 11. 4.2 Hướng tiệm cận của đồ thị hàm số khi x tiến đến α 14. 5 Hình học của đồ thị hàm số y = f(x) ngoài các đường tiệm cận 16. 6 Hình học của đồ thị hàm số y = f(x) giữa hai đường tiệm cận 16. 6.0.1 Trường hợp 1a: 17. 6.0.2 Trường hợp 1b: 18. 6.0.3 Trường hợp 2a: 18. 6.0.4 Trường hợp 2b: 20. 6.0.5 Trường hợp 3a: 21. 6.0.6 Trường hợp 3b: 23. Tài liệu tham khảo 25.

Tài liệu gồm 16 trang, được biên soạn bởi cô giáo Võ Thị Ngọc Ánh (trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành, tỉnh Kon Tum), hướng dẫn một số kỹ thuật giảm biến và ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức nhiều biến, hỗ trợ học sinh lớp 12 ôn thi học sinh giỏi môn Toán 12 cấp tỉnh. I. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN. 1. Các bước giải bài toán. Bước 1: Sử dụng các kĩ thuật giảm biến đưa biểu thức P = f(t) (t cũng có thể là x hoặc y) hoặc so sánh bất đẳng thức (≤, ≥) giữa P với hàm một biến f(t). + Kỹ thuật 1: Thế biến để chuyển P về một biến (là một trong các biến đã cho). + Kỹ thuật 2: Đặt biến phụ để chuyển P về một biến (là biến phụ đã đặt). + Kỹ thuật 3: Đánh giá bất đẳng thức (≤, ≥) và đặt biến phụ (nếu cần) để chuyển việc đánh giá P về khảo sát hàm một biến. Bước 2: Sử dụng các điều kiện ràng buộc (*), các bất đẳng thức cơ bản (được chứng minh trước đó) để tìm điều kiện “chặt” của biến t, thực chất đây là miền giá trị của t khi x, y thay đổi thỏa điều kiện (*). Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm f(t) và suy ra kết quả về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của biểu thức P. 2. Các ví dụ minh họa. Kĩ thuật 1: Thế biến để đưa biểu thức P về một biến. Kĩ thuật 2: Đặt biến phụ để đưa biểu thức P về biểu thức theo một biến. + Dạng 1: Đặt biến phụ đối với biểu thức P có dạng đối xứng. + Dạng 2: Đặt biến phụ đối với điều kiện (*) là tổng các hạng tử đồng bậc hoặc biểu thức P thể hiện tính “đồng bậc” (đối với các biến x và y). Kĩ thuật 3: Đánh giá bất đẳng thức (≤, ≥) và đặt biến phụ (nếu cần) để chuyển việc đánh giá P về khảo sát hàm một biến. 3. Bài tập rèn luyện. II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN. 1. Các bước giải bài toán. Bước 1: Sử dụng các kĩ thuật giảm biến đưa biểu thức P = f(t) (t cũng có thể là x, y hoặc z) hoặc so sánh bất đẳng thức (≤, ≥)giữa P với hàm một biến f(t). + Kỹ thuật 1: Thế biến để chuyển P về một biến (là một trong các biến đã cho). + Kỹ thuật 2: Đặt biến phụ để chuyển P về một biến (là biến phụ đã đặt). + Kỹ thuật 3: Đánh giá bất đẳng thức (≤, ≥) và đặt biến phụ (nếu cần) để chuyển việc đánh giá P về khảo sát hàm một biến. Bước 2: Sử dụng các điều kiện ràng buộc (*), các bất đẳng thức cơ bản (được chứng minh trước đó) để tìm điều kiện “chặt” của biến t, thực chất đây là miền giá trị của t khi x, y, z thay đổi thỏa điều kiện (*). Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm f(t) và suy ra kết quả về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) đối với P. 2. Các ví dụ minh họa. Kỹ thuật 1: Thế biến để đưa biểu thức về một biến. Kỹ thuật 2: Đặt biến phụ để đưa biểu thức về một biến. Kỹ thuật 3: Đánh giá bất đẳng thức (≤, ≥) để so sánh biểu thức P với biểu thức chứa một biến. 3. Bài tập rèn luyện.

Tài liệu gồm 25 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Huỳnh Kim Linh (trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Khánh Hòa), hướng dẫn sử dụng nguyên lý cực hạn trong giải quyết các bài toán Hình học, Đại số, Số học. Lời giới thiệu : Tổ hợp là một lĩnh vực không thể thiếu trong Toán học, nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Khác với các bài toán trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác. các bài toán Tổ hợp thường liên quan đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Chính vì thế các bài toán này thường mang những nét đặc trưng riêng của Toán học rời rạc. Nguyên lí cực hạn hay còn gọi là nguyên lí khởi nguồn cực hạn có phát biểu khá đơn giản: Một tập hợp hữu hạn (khác rỗng) các số thực bất kì đều có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Nhờ có nguyên lí này ta có thể xét các phần tử của một đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn: – Xét đoạn thẳng lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn đoạn thẳng. – Xét góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc. – Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất (nhỏ nhất) trong một hữu hạn đa giác. – Xét khoảng cách lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một khoảng cách. – Xét các điểm là đầu mút của một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc ở phía phải nhất của đoạn thẳng. Chúng ta sẽ tìm hiểu về những ứng dụng của phương pháp này trong các bài toán Hình học, Đại số, Số học. Trong Hình học, chúng ta sẽ áp dụng vào các Đại lượng đa dạng như độ dài các cạnh, đại lượng góc, khoảng cách đoạn thẳng. Còn trong Đại số và Số học, Đại lượng cực hạn là số nhỏ nhất, số lớn nhất. Nội dung : Phần 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MỞ ĐẦU. Phần 2. NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG HÌNH HỌC. 2.1. Góc lớn nhất hoặc góc nhỏ nhất. 2.2. Khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 2.3. Diện tích và chu vi lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 2.4. Bao lồi và đường thẳng tựa. 2.5. Bài tập. Phần 3. SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC. 3.1. Các bài toán số học. 3.2. Các bài toán đại số. 3.3. Bài tập. Phần 4. NGUYÊN LÍ THỨ TỰ TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN. 4.1 Nguyên lí thứ tự. 4.2.Nguyên lí quy nạp toán học. 4.3 Sự tương đương giữa hai nguyên lí. Dù cố gắng nhiều nhưng chuyên đề không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp từ các thầy, cô giáo và các em học sinh. Hi vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp các bạn bớt khó khăn khi nghiên cứu Tổ hợp, đồng thời giúp các bạn tìm thấy vẻ đẹp sáng tạo của Toán học khi giải loại toán này. Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn với những đóng góp ý kiến bổ ích.