Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu gồm 71 trang, tuyển chọn một số bài toán về đường cố định và điểm cố định hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bài toán về đường cố định và điểm cố định là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng phân tích bài toán và suy nghĩ, tìm tòi một cách sâu sắc để tìm ra được lời giải. Một vấn đề quan trọng khi giải bài toán về đường cố định và điểm cố định dự đoán được yếu tố cố định. Thông thường ta dự đoán các yếu tố cố định bằng các phương pháp sau: + Giải bài toán trong trường hợp đặc biệt để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Từ đó ta suy ra trường hợp tổng quát. + Xét các đường đặc biệt để của một họ đường để thấy được yếu tố cố định cần tìm. + Dựa vào tính đối xứng, tính độc lập, bình đẳng của các đối tượng để hạn chế phạm vi của hình tứ đó có thể tìm được yếu tố cố định. Khi giải bài toán về đường cố định và điểm cố định ta thường thực hiện các bước như sau: a) Tìm hiểu bài toán: Khi tìm hiểu bài toán ta xác định được: + Yếu tố cố định: điểm, đường …. + Yếu tố chuyển động: điểm, đường …. + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn, độ lớn góc …. + Quan hệ không đổi: song song, vuông góc, thẳng hàng …. b) Dự đoán điểm cố định: Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán yếu tố cố định. Thông thường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán điểm cố định. c) Tìm tòi hướng giải: Từ việc dự đoán yếu tố cố định tìm mối quan hệ giữa yếu tố đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Tài liệu gồm 69 trang, tuyển chọn một số bài toán về diện tích hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác. Mỗi đa giác có một diện tích xác định, diện tích đa giác là một số dương. Diện tích đa giác có các tính chất sau: + Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. + Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1(đvđd) thì diện tích là 1(đvdt), hình vuông đó được gọi là hình vuông đơn vị. + Nếu đa giác H được chia thành các đa giác H H H 1 2 n đôi một không có điểm chung trong. Khi đó ta được H H H H 1 2 n S S S S. + Nếu một đa giác H suy biến có H S 0 thì các đỉnh của đa giác cùng nằm trên một đường thẳng. 2. Diện tích tam giác. Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và abc p 2 là nửa chu vi. Gọi abc h h h là đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c và abc r r r là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các cạnh a, b, c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ta giác ABC. 3. Diện tích các tứ giác. + Diện tích hình chữ nhật: S a b với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. + Diện tích hình thang: ha b S 2 với a, b là độ dài hai đáy và h là chiều cao. + Diện tích hình bình hành: a S ah với a và a h là độ dài cạnh và đường cao tương ứng. + Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 1 S dd 2 với d d 1 2 là độ dài hai đường chéo. + Diện tích hình thoi: 1 2 1 S ah d d 2 với a và h là độ dài cạnh và đường cao, d1 và d2 là độ dài hai đường chéo. + Diện tích hình vuông: 2 2 1 Sa d 2 với a là độ dài cạnh và d là độ dài đường chéo của hình vuông. 4. Một số tính chất cơ bản về diện tích tam giác. + Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. + Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy. + Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3. + Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. + Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau. + Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành. + Với mọi tam giác ABC ta luôn có AB AC 2 SABC dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC vuông tại A. + Hai tam giác ABC và A’B’C’ có AA’ hoặc 0 AA’ 180 thì ABC A’B’C’ S AB.AC S A’B’A’C’. Các tính chất nêu trên của tam giác được chứng minh tương đối đơn giản và ta sẽ công nhận chúng khi giải các bài toán về diện tích. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Tài liệu gồm 102 trang, tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác. Định lí 1: Cho tam giác ABC. Nếu ABC ACB thì AC AB và ngược lại. Định lí 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có AB MN và AC MP. Khi đó ta có bất đẳng thức BAC NMP BC NP. Định lí 3: Trong tam giác ABC ta có. Định lí 4: Với mọi tam giác ABC ta luôn có. Hệ quả: Cho n điểm A A A A 123 n. Khi đó ta luôn có. Dấu bằng xẩy ra n điểm A A A A 123 n thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. Định lí 5: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Khi đó ta có. 2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên. Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 3. Các bất đẳng thức trong đường tròn. Định lí 1: Trong một đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất. Định lí 2: Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại. Định lí 3: Bán kính của hai đường tròn là R r, còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d. Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là R r d R r. Định lí 4: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì nằm trong đường tròn. Khi đó ta có R d N R d. Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn. Định lí 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì ngoài đường tròn. Khi đó ta có d R MN d R. Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn. 4. Các bất đẳng thức về diện tích. Định lí 1: Với mọi tam giác ABC ta luôn có ABC 1 S AB AC 2, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A. Định lí 2 : Với mọi tứ giác ABC ta luôn có ABCD 1 S AC BD 2, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi AC vuông góc với BD. Định lí 3: Với mọi tứ giác ABCD ta luôn có ABCD 1 S AB BC AD DC 2, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 0 B D 90. 5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng. Với x, y là các số thực dương, ta luôn có 2 2 2 2 2 x y 2xy 2 x y x y, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y. Với x, y, z là các số thực dương, ta luôn có. Bất đẳng thức Cauchy: Với x, y, z là các số thực dương, ta luôn có. Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Với a, b, c và x, y, z là các số thực, ta luôn có. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Tài liệu gồm 59 trang, tuyển chọn bài toán về quỹ tích – tập hợp điểm hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích). Một hình H được gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T. 2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm. Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T ta làm như sau: Bước 1: Tìm cách giải: – Xác định các yếu tố cố định và không đổi. – Xác định các điều kiện của điểm M. – Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: – Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H. – Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H (nếu được). – Phần đảo: Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn) có tính chất T. Thường làm như sau: + Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện. + Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn n − 1 điều kiện trong tính chất T và chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại. – Kết luận:Tập hợp điểm M là hình H. Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H. Chú ý: – Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm. – Nếu bài toán chỉ hỏi “Điểm M chuyển động trên đường nào?” thì ta chỉ trình bày phần thuận, phàn giới hạn và phàn kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo. – Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về tập hợp điểm cơ bản đã học. – Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo nên giữ nguyên như phần thuận. 3. Một số tập hợp điểm cơ bản. a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đường trung trực d của đoạn thẳng AB. b) Tập hợp điểm là tia phân giác. Định lí: Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy (khác góc bẹt) và cách đều hai cạnhcủa góc là tia phân giác của góc đó. Hệ quả: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳngcắt nhau xOx’ và yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm O của hai đường thẳng đó. c) Tập hợp điểm là đường thẳng song song. Định lý 1: Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a không đổi là hai đường thẳng song song với đường thắng đã cho và cách đường thẳng đó bằng a. Định lí 2: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho. d) Tập hợp điểm là đường tròn, một phần của đường tròn, cung chứa góc. + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O bán kính r. + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB. + Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi là α là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI